Pour la magnétostatique, on définit ses propriétés fondamentales.
Définitions
\(\triangleright\) Définition d'un champ magnétostatique
Un champ est magnétostatique s'il remplit les conditions suivantes:- $$\vec{rot}(\vec B)=\mu_0\vec j$$
- $$div(\vec B)=0$$
Induction magnétique
Symétries
\(\triangleright\) Symétrie pour un champ magnétique
- \(\vec B\) est perpendiculaire au plan de symétrie
- \(\vec B\) est parallèle au Plan d'antisymétrie
Actions d'un champ magnétique
Sur une particule chargée en mouvement
Lois de Laplace
Force de Lorentz
Sur un circuit
Effet Hall
Lois de Laplace
Expression d'un champ magnétique
\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par une charge en mouvement
Un champ magnétique créé par une charge en mouvement est définit par:
$$\vec B(M)={{\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Avec:- \(\vec r\): la distance entrela charge et le point \(M\)
- \(\mu_0\): la perméabilité du vide
- \(\vec v\): la vitesse de la charge
\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant
L'expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant:
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{V_T} \frac{\vec jd\tau\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Dans le cas particulier d'un circuit filiforme (Loi de Biot et Savart):
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\vec {dl}\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Flux du champ magnétique
\(\triangleright\) Champ magnétique , un champ conservatif
Le champ magnétique est un champ à flux conservatif:
\(}{{\subset\!\supset} \llap{\iint}}\)
$${\subset\!\supset} \llap{\iint}\vec B.\vec{dS}=0$$
Cela implique que, d'aprés le Théorème d'Ostrogradsky - de la divergence:
$$div (\vec B)=0$$
Conséquence:
\(\vec B\) dérive d'un potentiel vecteur:
$$\vec B={{\vec{rot}(\vec A)}}$$
Jauge de Coulomb
\(\vec A\) est défini à un gradient près. On choisit la solution \(div(\vec A)={{0}}\) qui porte le nom de
Jauge de Coulomb.
\(\triangleright\) Conséquence de la Jauge de Coulomb
Soit \(\vec A\) un potentiel vecteur.
$$\vec \Delta \vec A={{-\mu_0\vec j}}$$
(Analogie avec l'Equation de Poisson)
Avec comme solution:
$$\vec A={{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_\tau\frac{\vec j}{r}d\tau}}$$
Théorème d'Ampère
Théorème d'Ampère
Energie magnétique
\(\triangleright\) Energie potentielle magnétique d'une distribution de courants
$$W_m={{\frac 12\iiint_{Sfermé}\vec j.\vec Ad\tau}}$$
$$W_m=\frac 12\iiint_{espace}\frac{\vec B^2}{\mu_0}d\tau$$
\(\implies\) Densité volumique d'énergie magnétique: \(u_m=\frac{d W_m}{d\tau}\)